UN CRITERIO DI DIVISIBILITA' ANCHE PER IL 7!

Chi è che si ricorda ancora i criteri di divisibilità che si studiano alle scuole medie? Criteri di divisibilità:
Se un numero termina con una cifra pari allora è divisibile per 2. Se la somma delle cifra di un numero è divisibile per 3, allora quel numero è divisibile per 3. Se il numero formato dalle ultime 2 cifre di un numero è divisibile per 4 allora tutto quel numero è divisibile per 4. Se un numero termina con 0 o con 5 allora quel numero è divisibile per 5. Per essere divisibile per 6 un numero deve essere divisibile contemporaneamente per 2 e per 3. Per essere divisibile per 8 è sufficiente che lo sia il numero formato dalle ultime 3 cifre. Per essere divisibile per 9 è sufficiente che la somma delle cifre di un numero sia divisibile per 9. Per 10, bisogna che sia divisibile contemporaneamente per 2 e per 5. Per 11 è un po' più difficile: bisogna che la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari sia essa stessa divisibile per 11. Poi per 25: è sufficiente che lo sia, divisibile per 25, il numero formato dalle ultime 2 cifre, così come per 4. A proposito: il singolare privilegio dei criteri di divisibilità per 3 e per 9 (basta che sia divisibile per 3 la somma delle cifre di un numero) deriva forse dal fatto che il 3 è il numero perfetto per eccellenza, il numero della Ss. Trinità? Matematicamente parlando, deriva dal sistema numerico da noi usato, il sistema decimale, con 10 cifre appunto. Deriva dal fatto che 10 = 9 + 1. E a sua volta 9 = 3 x 3. Se usassimo un sistema a 16 cifre, un sistema cosiddetto “esadecimale”, allora la stessa proprietà che vale per 3 e per 9 nel sistema decimale, varrebbe per 3, per 5 e per 15, perché 16 = 15 + 1 e a sua volta 15 = 3 x 5! Se poi la Ss. Trinità abbia praticamente deciso lei il nostro sistema numerico decimale, dotandoci di 10 dita, questa è un'altra questione! In questa carrellata di criteri di divisibilità vi sarete forse accorti che manca un criterio di divisibilità per il 7! Eppure ci sono proprio tutti, dal 2 fino all'11! Forse avete pensato, come avevo fatto io, che non esiste un criterio semplice di divisibilità per 7 ed è per questo che alle scuole medie non si insegna! Però è un peccato, che non esista, proprio solo per il 7, questo numero così misterioso, così mistico! In realtà io ne ho trovato uno e non è affatto difficile, forse è solo un po' più complicato degli altri, ma di poco! Eccolo!:
Intanto bisogna (come minimo) conoscere la tabellina del 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. In questo modo, un numero a due cifre si può individuare subito se è divisibile per 7 o meno. Infatti ogni cifra superiore o uguale a 7 si può sostituire con la stessa cifra a cui è stato sottratto 7, e la divisibilità per 7, così facendo, non cambia. Per esempio 98 lo possiamo sostituire con 21 (2 = 9 - 7 e 1 = 8 – 7) e 21 sappiamo che è divisibile per 7. La parte interessante viene per un numero a 3 cifre. Si usa il fatto che 1001 è divisibile per 7 (1001 = 7 x 11 x 13) e quindi, aggiungendo 1001 a un numero, o i suoi multipli (2002, 3003, 4004, ........), la divisibilità per 7 del numero non cambia. Per esempio, vogliamo stabilire se 644 è divisibile per 7. Prendiamo la terza cifra, il 6. Qual è quella cifra, aggiunta davanti al 6, che mi dà un numero della tabellina del 7? E' il 5, che aggiunto davanti al 6, forma 56, divisibile per 7. Allora a 644 aggiungiamo 5005 e viene: 5649. Sappiamo già che 56 è divisibile per 7, dunque è sufficiente che lo sia anche 49 perché 644 sia divisibile per 7 e lo è. E' molto più facile a farsi che a spiegarsi! (Un trucco per individuare subito la cifra da aggiungere davanti è quello di ricordarsi i numeri della tabellina del 7 in questo modo: 1421 e 3563. In questi due numeri ci sono tutti: 14, 42, 21 e 35, 56, 63. Il 28, il 49 e il 70, avendo una cifra superiore o uguale al 7, possono essere sostituiti, come abbiamo visto, dal 21, 42 e 00). Per i numeri che hanno da 4 a 6 cifre si procede questo modo: si sottrae dalla 1° cifra la 4°, dalla 2° la 5°, dalla 3° la 6°, sempre in virtù del fatto che 1001 è divisibile per 7. Se vengono numeri negativi basta aggiungere 7. Per esempio, dobbiamo stabilire se 246339 è divisibile per 7.
9 – 6 = 3
3 – 4 = -1 (+7) = 6
3 – 2 = 1

Quindi ci resta solo più da stabilire se 163 è divisibile per 7. Col metodo già spiegato, aggiungendo 2002, viene 2165. Poiché 65 non è divisibile per 7, allora il numero di partenza 246339, non è divisibile per 7, anzi sappiamo che diviso per 7 dà come resto 2, perché 65 diviso 7 dà come resto 2. Per i numeri a più di 6 cifre è sufficiente sommare e sottrarre le cifre a gruppi di 3, come abbiamo visto per l'esempio a 6 cifre, ed eventualmente aggiungere o togliere 7 alle cifre così ottenute, là dove si rende necessario. Un esempio chiarirà più di tante parole.

Stabilire se 114.594.262.860 è divisibile per 7.
Per ottenere la 1° cifra si fa così: (1° + 7°) cifra meno (4° + 10°) cifra
(0 + 4) – (2 + 4) = 4 – 6 = - 2 (+ 7) = 5
2° cifra: (2° + 8°) - (5° + 11)
(6 + 9) – (6 + 1) = 15 – 7 = 8 (- 7) = 1
3° cifra: (3° + 9°) - (6° + 12°)
(8 + 5) - (2 + 1) = 13 – 3 = 10 (- 7) = 3

Abbiamo 315 (+ 6006) = 6321. E quindi il numero 114.594.262.860 è divisibile per 7. Avevo preso un numero a caso!
Forse spiegato così potrà sembrare complicato, ma non è più complicato del criterio di divisibilità per 11.
Insomma! Tutti i numeri fino a 11 hanno il loro bel criterio di divisibilità e il 7 non ce lo deve avere? -E perché proprio io?- dice il 7! -Non è giusto, tocca sempre a me pagare?-. L'ho sentito che si lamentava così! Siamo in democrazia! Vai, 7, vai..... eccoti accontentato, vai bello tranquillo anche tu, con il tuo bel criterio di divisibilità fresco fresco!